Series y convergencia
Sumar infinitos números y obtener un resultado finito suena a contradicción, y durante mucho tiempo se trató como tal. Pero 1/2 + 1/4 + 1/8 + … suma exactamente 1, y eso se puede ver sin ninguna teoría: cada término cubre la mitad de lo que falta. El problema es que la intuición se rompe enseguida. La serie 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … tiene términos que tienden a cero igual de claramente y su suma crece sin límite: pasa de 100, de 1000 y de cualquier número que se proponga, solo que tan despacio que nadie lo vería sumando a mano. Distinguir un caso del otro sin sumar es de lo que va este curso. Once lecciones sobre convergencia y sobre la aplicación que la hace útil: aproximar funciones por polinomios de Taylor sabiendo cuánto se falla. Los ejercicios comparan siempre la aproximación con el valor de verdad.
Lecciones
- 1 Sumas parciales Sumar los primeros términos y observar cómo evoluciona.
- 2 Series telescópicas Sumar una serie donde casi todo se cancela.
- 3 El criterio de la p-serie Decidir si 1/nᵖ converge según el exponente.
- 4 La serie armónica Ver que el término tienda a cero no basta.
- 5 Condición necesaria Descartar la convergencia mirando solo el término general.
- 6 El criterio del cociente Aplicarlo y reconocer cuándo no concluye.
- 7 Series alternadas Acotar el error al truncar una serie de signos alternos.
- 8 La serie de Taylor Calcular el coeficiente de un término del desarrollo.
- 9 Aproximar con Taylor Evaluar el polinomio y compararlo con el valor real.
- 10 El error de la aproximación Medir cuánto se falla al truncar el desarrollo.
- 11 Repaso de convergencia Elegir el criterio adecuado para cada serie.
Examen final
14 preguntas sorteadas de todas las lecciones. Hace falta un 70 % para aprobar, y al suspender hay que esperar 12 horas antes de repetir: si se pudiera reintentar sin límite, aprobar sería cuestión de insistir y el diploma no diría nada.
Te recomendamos dominar todas las lecciones antes de presentarte.
Ir al examenPreguntas frecuentes
¿Cómo puede una suma de infinitos números dar un resultado finito?
Porque no se suman de golpe: se define el límite de las sumas parciales. Si cada término aporta lo suficientemente poco, esas sumas se acercan a un valor y no lo pasan. 1/2 + 1/4 + 1/8 + … llega a 1 sin alcanzarlo: cada término cubre la mitad de lo que falta.
Si los términos tienden a cero, ¿no debería converger siempre?
No, y es lo más contraintuitivo del tema. La serie armónica tiene términos que tienden a cero y su suma crece sin límite. Lo que importa no es que los términos se hagan pequeños, sino la rapidez con que lo hacen: 1/n no basta y 1/n² sí.
¿Para qué sirve Taylor fuera del aula?
Es lo que permite a una máquina calcular un seno o una exponencial, que solo sabe sumar y multiplicar. También está detrás de casi toda la física aproximada: cuando se dice que para ángulos pequeños el seno vale aproximadamente el ángulo, se está usando el primer término de su desarrollo.
¿Qué pasa si ningún criterio decide?
Se usa otro. Los que se ven aquí son los primeros de una lista larga: comparación, comparación por paso al límite, criterio integral, Raabe. Y quedan series cuya convergencia sigue sin resolverse. Que un criterio calle es información sobre el criterio, no sobre la serie.
¿Es lo mismo que el curso de sucesiones?
No. Allí se suman progresiones aritméticas y geométricas, que tienen fórmula cerrada, y se ve la suma infinita de una geométrica. Aquí la pregunta es otra: decidir si una suma infinita existe cuando no hay fórmula, y usar eso para aproximar funciones.