Series y convergencia · Lección 4 de 11
La serie armónica
Ver que el término tienda a cero no basta.
Antes de empezar, una de repaso
Recordar algo cuesta más que releerlo, y por eso funciona mejor. Esta pregunta es de una lección anterior.
El contraejemplo que hay que conocer
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … tiene términos que tienden a cero con toda claridad, y su suma crece sin límite. Es el ejemplo que demuestra que la condición necesaria no es suficiente.
Quien no lo conoce tiende a razonar «los términos se hacen despreciables, luego la suma se estabiliza», y es falso.
Crece como un logaritmo
La suma de los n primeros términos se parece a ln n. Con mil términos va por 7,5; con cien mil, por 12. Para pasar de 100 harían falta más términos de los que cabrían en cualquier ordenador imaginable.
Pero llega. Que sea inalcanzable en la práctica no cambia que el límite no exista.
La demostración es sencilla
Se agrupan los términos en bloques de 1, 2, 4, 8… y cada bloque suma al menos 1/2. Como hay infinitos bloques, la suma pasa de cualquier número. Es un argumento del siglo XIV y sigue siendo el más claro.
Practica
Cada ejercicio se genera con números nuevos y lo corrige el mismo motor que mueve las calculadoras del sitio. La lección se da por dominada al acertar 4 de los últimos 5.