Logaritmos y funciones exponenciales
Un logaritmo no es una operación rara: es una pregunta. Cuando escribes log₂(8) estás preguntando a qué hay que elevar 2 para obtener 8. La respuesta es 3, y ya está. Casi todo lo que resulta confuso de los logaritmos se aclara leyéndolos así, en voz alta, como una pregunta sobre un exponente. Hacen falta porque hay ecuaciones donde la incógnita está en el exponente, y ahí no sirve despejar como siempre. También porque convierten multiplicaciones en sumas, que es la razón por la que se inventaron y por la que aparecen en la escala de Richter, en los decibelios y en el pH. Nueve lecciones.
Lecciones
- 1 Qué pregunta un logaritmo Traducir entre forma exponencial y forma logarítmica.
- 2 El logaritmo de 1 y de la base Reconocer log_b(1) y log_b(b) en cualquier base.
- 3 El logaritmo de un producto Convertir el logaritmo de un producto en una suma.
- 4 El logaritmo de un cociente Convertir el logaritmo de un cociente en una resta.
- 5 El exponente que sale fuera Aplicar log(aᵏ) = k · log(a).
- 6 Cambio de base Calcular un logaritmo de base cualquiera con una calculadora normal.
- 7 Deshacer un logaritmo Despejar la incógnita cuando está dentro del logaritmo.
- 8 Ecuaciones exponenciales Resolver ecuaciones con la incógnita en el exponente.
- 9 Ecuaciones logarítmicas Resolver ecuaciones con la incógnita dentro del logaritmo y comprobar la solución.
- 10 La incógnita en el exponente Despejar un exponente con un logaritmo.
- 11 Cuánto tarda algo en duplicarse Calcular el tiempo de duplicación de un crecimiento porcentual.
Examen final
13 preguntas sorteadas de todas las lecciones. Hace falta un 70 % para aprobar, y al suspender hay que esperar 12 horas antes de repetir: si se pudiera reintentar sin límite, aprobar sería cuestión de insistir y el diploma no diría nada.
Te recomendamos dominar todas las lecciones antes de presentarte.
Ir al examenPreguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre log y ln?
Solo la base. log suele referirse a la base 10 y ln es el logaritmo neperiano, de base e ≈ 2,71828. Los dos cumplen exactamente las mismas propiedades, y para pasar de uno a otro basta con el cambio de base. En matemáticas superiores log a secas suele significar ln, así que conviene mirar el contexto.
¿Por qué no existe el logaritmo de un número negativo?
Porque el logaritmo pregunta a qué exponente hay que elevar una base positiva, y ninguna potencia de un número positivo da un resultado negativo. 2 elevado a lo que sea siempre es positivo, así que no hay ningún exponente que devuelva −8.
¿log(a + b) se puede desarrollar de alguna forma?
No. Las propiedades convierten productos en sumas, no sumas en sumas. log(a + b) se queda como está. Es el error más frecuente con logaritmos y conviene comprobarlo con números: log(2 + 8) = log(10) = 1, mientras que log(2) + log(8) ≈ 0,30 + 0,90 = 1,20.
¿Para qué sirven los logaritmos fuera de clase?
Para medir cosas cuyo rango es enorme. La escala de Richter, los decibelios y el pH son logarítmicas, y por eso un terremoto de magnitud 7 libera unas 32 veces más energía que uno de 6, no un 17 % más. También aparecen al calcular cuánto tarda una inversión en duplicarse.
¿Por qué el logaritmo de 1 es cero en todas las bases?
Porque cualquier número distinto de cero elevado a 0 da 1. Como el logaritmo devuelve el exponente, y el exponente que produce un 1 es siempre el cero, la respuesta no depende de la base.
¿La regla del 72 tiene que ver con esto?
Sí, es una aproximación de este mismo cálculo. El tiempo exacto en que algo se duplica creciendo a un ritmo r es ln(2) ÷ ln(1 + r), y para tasas pequeñas eso se parece mucho a 72 dividido entre el porcentaje. La regla es cómoda para hacerlo de cabeza, pero pierde precisión con tasas altas.