La fórmula de siempre: base por altura entre dos
A = base × altura / 2
Sirve para cualquier triángulo, sea del tipo que sea. La única condición es que la altura sea la perpendicular desde la base hasta el vértice opuesto.
La razón de dividir entre dos es visual: duplica el triángulo, gira la copia media vuelta y encájala. Obtienes un paralelogramo con la misma base y la misma altura, cuya área es base por altura. Tu triángulo es exactamente la mitad.
Si solo conoces los tres lados: fórmula de Herón
Cuando no hay altura a mano, no hace falta trazarla. Con los tres lados basta:
s = (a + b + c) / 2
A = √( s · (s−a) · (s−b) · (s−c) )
A s se le llama semiperímetro. La fórmula lleva el nombre de Herón de Alejandría, que la recogió en el siglo I, aunque probablemente ya la conocía Arquímedes.
Antes de aplicarla hay que comprobar algo: los tres lados tienen que poder cerrar un triángulo. Cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos. Con lados 1, 2 y 10 no hay triángulo posible, y la fórmula devolvería la raíz de un número negativo.
Cómo calcularla a mano
Con base y altura. Base 10 cm, altura 6 cm:
- Multiplica: 10 × 6 = 60.
- Divide entre 2: 60 ÷ 2 = 30.
- Unidades al cuadrado: 30 cm².
Con los tres lados. Lados 3, 4 y 5 cm:
- Semiperímetro: (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6.
- Restas cada lado: 6−3 = 3, 6−4 = 2, 6−5 = 1.
- Multiplicas todo: 6 × 3 × 2 × 1 = 36.
- Raíz cuadrada: √36 = 6 cm².
Ese triángulo de lados 3, 4 y 5 es rectángulo, así que se puede comprobar por el otro camino: base 3, altura 4, área 3 × 4 ÷ 2 = 6. Coincide.
Dónde está la altura de verdad
Es el punto donde más gente se equivoca. La altura no es un lado, salvo en el caso particular de los triángulos rectángulos, donde los dos catetos sí hacen de base y altura el uno del otro.
Todo triángulo tiene tres alturas, una por cada lado, y las tres dan el mismo área. Eso permite despejar cualquiera de ellas si conoces el área:
altura = 2 · A / base
En los triángulos obtusángulos, la altura sobre los lados cortos cae fuera de la figura: hay que prolongar la base con una línea de puntos para trazarla. La fórmula funciona exactamente igual.
Qué cambia según el tipo de triángulo
| Tipo | Cómo es | Atajo para el área |
|---|---|---|
| Equilátero | Tres lados iguales, tres ángulos de 60° | A = l² · √3 / 4 |
| Isósceles | Dos lados iguales | La altura cae en el punto medio de la base |
| Escaleno | Los tres lados distintos | Herón |
| Rectángulo | Un ángulo de 90° | A = cateto × cateto / 2 |
Para un equilátero de 6 cm de lado: 36 × 1,7321 ÷ 4 = 15,59 cm². Sale lo mismo que con Herón, pero en un paso.
Errores frecuentes
- Usar un lado como altura. Solo vale en los triángulos rectángulos, y solo con los catetos. Con la hipotenusa, no.
- Olvidar dividir entre dos. Da exactamente el doble: es el área del paralelogramo, no la del triángulo.
- Aplicar Herón sin comprobar que el triángulo existe. Si un lado es mayor o igual que la suma de los otros dos, no hay figura posible.
- Mezclar unidades. Base en metros y altura en centímetros no se pueden multiplicar sin convertir antes.