La fórmula
área = ½ · |Σ (xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|
Por qué funciona
La fórmula del cordón —también llamada de Gauss o del zapatero— recorre el polígono sumando productos cruzados de vértices consecutivos, y funciona con cualquier polígono simple: convexo, cóncavo, de tres lados o de treinta. La idea que hay detrás es que cada par de vértices consecutivos define un triángulo con el origen, y esos triángulos se suman y se restan hasta dejar exactamente el área encerrada. No hace falta descomponer el terreno en triángulos a mano, ni que los lados sean rectos con respecto a nada: solo hacen falta las coordenadas, en orden.
Cómo resolverlo a mano
- Anota las coordenadas de los vértices siguiendo el contorno, sin saltarte ninguno
- Multiplica la x de cada vértice por la y del siguiente y suma todos
- Resta la suma de los productos cruzados al revés
- Divide entre dos y toma el valor absoluto
Lo que conviene saber
Los vértices tienen que ir en orden a lo largo del contorno: si se saltan o se desordenan, el polígono se cruza consigo mismo y el resultado deja de tener sentido. El signo del resultado antes del valor absoluto dice en qué sentido se recorrió —positivo antihorario, negativo horario—, y es una forma rápida de comprobar que no hay un vértice fuera de sitio. Si las coordenadas vienen de un GPS en grados, hay que convertirlas antes a metros: un grado de latitud son unos 111 kilómetros, pero uno de longitud depende de la latitud, y usarlos directamente da áreas sin sentido.