La fórmula del área del círculo
A = π · r²
Donde r es el radio, es decir, la distancia del centro al borde. π es una constante que vale aproximadamente 3,14159 y que aparece siempre que hay circunferencias de por medio.
Si lo que conoces es el diámetro, hay dos caminos y ambos llevan al mismo sitio:
A = π · (d/2)² · A = π · d² / 4
Cómo calcularla a mano, paso a paso
Círculo de 5 cm de radio.
- Eleva el radio al cuadrado: 5 × 5 = 25.
- Multiplica por π: 25 × 3,1416 = 78,54.
- Pon las unidades al cuadrado: 78,54 cm².
Ese último paso no es un detalle: el área siempre se mide en unidades cuadradas. Si el radio estaba en centímetros, el área está en centímetros cuadrados.
Con el diámetro es igual de fácil. Un plato de 24 cm de diámetro: radio 12 cm, 12² = 144, y 144 × 3,1416 = 452,39 cm².
De dónde sale πr²
La fórmula no es arbitraria. Imagina que cortas el círculo en muchos sectores muy finos, como porciones de pizza, y los colocas alternando punta arriba y punta abajo. Lo que obtienes se parece cada vez más a un rectángulo.
La altura de ese rectángulo es el radio. Su base es la mitad de la circunferencia, porque la otra mitad quedó en el lado de arriba: πr. Y el área de un rectángulo es base por altura:
A = πr · r = πr²
Cuantos más sectores cortas, más se parece a un rectángulo perfecto. Ese razonamiento, llevado al límite, es la idea que está detrás del cálculo integral.
Del área al radio, y otras vueltas
Las cuatro medidas de un círculo están encadenadas: sabiendo una, salen las demás.
| Si conoces | El radio es |
|---|---|
| El diámetro (d) | r = d / 2 |
| La circunferencia (C) | r = C / (2π) |
| El área (A) | r = √(A / π) |
Esta última es muy práctica en la vida real. Si necesitas cubrir 12 m² con un toldo circular: 12 ÷ 3,1416 = 3,8197, y la raíz cuadrada de eso es 1,954 m de radio, casi cuatro metros de diámetro.
Sector, arco y corona circular
Un sector es una porción del círculo delimitada por dos radios: la porción de tarta. Su área es la del círculo entero multiplicada por la fracción de vuelta que ocupa.
Asector = πr² · ángulo / 360
El arco es el trozo de borde que le corresponde:
Larco = 2πr · ángulo / 360
Una corona es el anillo entre dos círculos concéntricos, como una arandela o el borde de una pista. Se calcula restando:
Acorona = π · (R² − r²)
Los tres errores de siempre
- Usar el diámetro en lugar del radio. Es el más frecuente y el más caro: el resultado sale cuatro veces mayor, porque el radio va elevado al cuadrado.
- Confundir 2πr con πr². La primera es la circunferencia, una longitud; la segunda es el área, una superficie. Truco para recordarlo: el área lleva el cuadrado, y las superficies se miden en unidades cuadradas.
- Mezclar unidades. Si el radio está en centímetros y quieres el área en metros cuadrados, no basta con dividir entre 100: hay que dividir entre 10.000, porque 1 m² = 10.000 cm².