Números complejos
Durante siglos, √−1 se consideró un sinsentido. Un cuadrado nunca sale negativo, así que la raíz de un número negativo no podía existir y ahí se acababa la discusión. El cambio llegó por un camino inesperado: resolviendo ecuaciones de tercer grado aparecían raíces de negativos a mitad del cálculo, se cancelaban solas al final y dejaban soluciones reales perfectamente correctas. Algo que no existía estaba haciendo un trabajo útil. La salida fue dejar de preguntarse si i «existe» y definirla por lo que hace: i es el número cuyo cuadrado vale −1. Con esa única regla, toda la aritmética que ya se conoce sigue funcionando, y de propina cualquier ecuación polinómica pasa a tener solución. Once lecciones que van de la definición a la división, pasando por el conjugado y el plano complejo. Todos los ejercicios se generan con números nuevos y los corrige el mismo motor que mueve la calculadora de complejos del sitio.
Lecciones
- 1 La unidad imaginaria Entender qué es i y por qué se define por su cuadrado.
- 2 Raíces de números negativos Escribir √−k en la forma bi.
- 3 Sumar complejos Sumar por partes y obtener la parte real del resultado.
- 4 La parte imaginaria de una suma Sumar los coeficientes de i sin confundirlos con la parte real.
- 5 Restar complejos Cambiar el signo de las dos partes del sustraendo.
- 6 Multiplicar: la parte real Desarrollar el producto y aplicar i² = −1.
- 7 Multiplicar: la parte imaginaria Identificar los dos productos cruzados.
- 8 El conjugado Cambiar el signo de la parte imaginaria y entender para qué sirve.
- 9 Módulo y plano complejo Situar un complejo en el plano y medir su distancia al origen.
- 10 Dividir complejos Multiplicar por el conjugado del denominador.
- 11 Potencias de i Resolver i elevado a un exponente grande usando el ciclo de cuatro.
Examen final
14 preguntas sorteadas de todas las lecciones. Hace falta un 70 % para aprobar, y al suspender hay que esperar 12 horas antes de repetir: si se pudiera reintentar sin límite, aprobar sería cuestión de insistir y el diploma no diría nada.
Te recomendamos dominar todas las lecciones antes de presentarte.
Ir al examenPreguntas frecuentes
¿Los números complejos sirven para algo fuera de clase?
Bastante. La corriente alterna se analiza con complejos porque convierten ecuaciones diferenciales en aritmética; el procesamiento de señales y la transformada de Fourier se apoyan en ellos; y la mecánica cuántica está escrita en números complejos de principio a fin. No son una curiosidad: son una herramienta de trabajo.
¿Por qué se llaman imaginarios si son tan útiles?
Por un desprecio que se quedó pegado al nombre. Descartes usó el término para indicar que no le parecían números de verdad, y la etiqueta sobrevivió a la discusión. Hoy el nombre es solo histórico y no dice nada sobre su utilidad.
¿Un número complejo puede ser mayor que otro?
No, y esa es una diferencia real respecto a los reales. Los complejos no se pueden ordenar de forma compatible con la suma y el producto, así que preguntar si 3 + 2i es mayor que 1 + 5i no tiene sentido. Lo que sí se puede comparar es su módulo, que es un número real.
¿Hace falta este curso para el de ecuaciones de segundo grado?
Al revés: conviene hacer antes el de segundo grado. Aquí se da por sabido qué es el discriminante y qué significa que sea negativo; este curso es lo que explica qué hacer en ese caso en vez de detenerse.