Integrales y cálculo de áreas
Integrar es la operación inversa de derivar, y esa frase esconde uno de los resultados más sorprendentes de las matemáticas: que deshacer una derivada sirva para calcular áreas. No hay ninguna razón evidente para que esas dos cosas estén relacionadas, y sin embargo lo están. Ese es el teorema fundamental del cálculo, y es el eje de este curso. Alrededor se construyen las primitivas, la regla de Barrow y el cálculo de áreas, que es lo que se pregunta en cualquier examen del bloque de análisis.
Lecciones
- 1 La operación inversa Entender qué es una primitiva y por qué no es única.
- 2 Integrar potencias Aplicar la regla de la potencia al revés.
- 3 La integral definida Aplicar la regla de Barrow entre dos límites.
- 4 El área bajo una curva Calcular el área entre una curva positiva y el eje X.
- 5 Cuando la curva baja del eje Distinguir el valor de la integral del área encerrada.
- 6 Área entre dos curvas Integrar la diferencia entre la función de arriba y la de abajo.
- 7 Integrales inmediatas Reconocer las primitivas que conviene tener memorizadas.
- 8 El cambio de variable Reconocer cuándo una integral es una cadena al revés.
- 9 Aplicaciones Interpretar la integral como una magnitud acumulada.
- 10 Repaso de integrales Decidir el método y comprobar el resultado.
Examen final
12 preguntas sorteadas de todas las lecciones. Hace falta un 70 % para aprobar, y al suspender hay que esperar 12 horas antes de repetir: si se pudiera reintentar sin límite, aprobar sería cuestión de insistir y el diploma no diría nada.
Te recomendamos dominar todas las lecciones antes de presentarte.
Ir al examenPreguntas frecuentes
¿Por qué se escribe «+ C» al integrar?
Porque la derivada de una constante es cero, así que infinitas funciones tienen la misma derivada. El resultado correcto es toda esa familia, no una función concreta.
¿La integral definida es siempre el área?
No. Donde la función es negativa, la integral resta. Para un área hay que partir por las raíces e ir sumando valores absolutos; si no, los trozos se cancelan.
¿Cómo compruebo que una integral está bien?
Derivando el resultado: tiene que devolver exactamente el integrando. Es rápido y detecta casi cualquier error de coeficiente o de signo.
¿Por qué integrar es más difícil que derivar?
Porque derivar tiene una regla mecánica para cada estructura y siempre funciona, mientras que integrar consiste en reconocer patrones. Además hay funciones sencillas cuya primitiva no se puede escribir con funciones elementales.
¿Por qué a veces una integral definida sale negativa?
Porque el resultado es un área con signo: los tramos donde la función va por debajo del eje restan. Si lo que se busca es el área geométrica, hay que localizar los cortes con el eje, integrar por tramos y sumar los valores absolutos.