Ecuaciones diferenciales
Casi ninguna ley de la naturaleza dice cuánto vale algo. Dicen cómo cambia. La segunda ley de Newton no da la posición de un cuerpo: relaciona su aceleración con la fuerza. La ley de enfriamiento no da la temperatura: dice a qué velocidad baja. Una ecuación diferencial es exactamente eso, una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparece su derivada. Resolverla es dar marcha atrás: a partir de cómo cambia algo, reconstruir qué es. Por eso este curso viene después del de integrales, que es la herramienta que deshace la derivada. Diez lecciones sobre ecuaciones de primer orden, que son las que aparecen en física, química, biología y finanzas antes que ninguna otra. Los ejercicios se generan con números nuevos y los corrige el mismo motor que mueve las calculadoras de crecimiento y de vida media del sitio.
Lecciones
- 1 Qué es una ecuación diferencial Reconocer el orden de una ecuación por su derivada más alta.
- 2 Ecuaciones lineales Distinguir una ecuación lineal de una que no lo es.
- 3 Comprobar una solución Sustituir una candidata en la ecuación y ver si encaja.
- 4 La familia de soluciones Fijar la constante de integración con una condición inicial.
- 5 Integración directa Resolver y′ = f(x) integrando y ajustar la constante.
- 6 Crecimiento exponencial Resolver y′ = r·y y aplicarlo a una población.
- 7 Desintegración y vida media Usar la vida media para resolver el decaimiento exponencial.
- 8 Tiempo de duplicación Despejar el tiempo con logaritmos en un modelo exponencial.
- 9 Soluciones de equilibrio Encontrar dónde se anula la derivada y decidir si es estable.
- 10 Enfriamiento de Newton Aplicar una lineal de coeficientes constantes a un caso real.
Examen final
13 preguntas sorteadas de todas las lecciones. Hace falta un 70 % para aprobar, y al suspender hay que esperar 12 horas antes de repetir: si se pudiera reintentar sin límite, aprobar sería cuestión de insistir y el diploma no diría nada.
Te recomendamos dominar todas las lecciones antes de presentarte.
Ir al examenPreguntas frecuentes
¿Hace falta saber integrar antes de empezar?
Sí, al menos integrar polinomios y reconocer la exponencial. Resolver una ecuación diferencial es reconstruir una función a partir de cómo cambia, y eso es justamente lo que hace la integral. El curso de integrales cubre de sobra lo necesario.
¿Por qué las soluciones llevan siempre una constante?
Porque la derivada no distingue entre una función y esa misma función desplazada: x² y x² + 5 tienen la misma derivada. La ecuación fija la forma y la condición inicial fija la altura. Sin ese dato hay infinitas soluciones y todas son correctas.
¿Todas las ecuaciones diferenciales se pueden resolver?
No, y eso no es un defecto del curso. Muchas ecuaciones perfectamente razonables no tienen solución escribible con las funciones habituales, y se estudian por otras vías: analizando sus equilibrios, dibujando su campo de direcciones o resolviéndolas numéricamente. Aquí se ven las de primer orden que sí se resuelven a mano.
¿Qué diferencia hay entre este curso y el de integrales?
Integrar es el caso más sencillo de ecuación diferencial: y′ = f(x), donde el lado derecho no menciona a la incógnita. En cuanto la y aparece a la derecha —como en y′ = 2y— integrar directamente deja de servir, y ahí empieza lo propio de este curso.
¿Se ven ecuaciones de segundo orden?
Se explica qué son y cómo reconocerlas, pero no se resuelven. Las de segundo orden con coeficientes constantes son el paso siguiente natural, y necesitan la ecuación característica y los números complejos, que tienen su propio curso aquí.