Derivadas: reglas y aplicaciones
Derivar es medir a qué ritmo cambia algo en un instante concreto. Con esa única idea se calcula la velocidad exacta de un móvil, la pendiente de una curva en un punto y el momento en que una magnitud deja de crecer y empieza a bajar. Este curso construye las reglas una a una, siempre explicando qué significa el resultado, y termina en lo que hace que las derivadas se estudien en todas las carreras: la optimización, es decir encontrar el mejor valor posible de algo.
Lecciones
- 1 Qué es una derivada Entender la derivada como límite de la tasa de variación media.
- 2 La regla de la potencia Derivar cualquier potencia bajando el exponente.
- 3 Derivar polinomios Aplicar la regla término a término y evaluar en un punto.
- 4 La regla del producto Derivar un producto sin caer en el error de multiplicar las derivadas.
- 5 La regla de la cadena Derivar funciones compuestas sin olvidar el factor de dentro.
- 6 La recta tangente Escribir la ecuación de la tangente a una curva en un punto.
- 7 Crecimiento y decrecimiento Usar el signo de la derivada para saber dónde sube y dónde baja la función.
- 8 Máximos y mínimos Encontrar los extremos de una función igualando la derivada a cero.
- 9 La segunda derivada Interpretar la concavidad y distinguir máximos de mínimos.
- 10 Repaso de derivadas Encadenar todas las reglas y elegir la que toca en cada caso.
Examen final
11 preguntas sorteadas de todas las lecciones. Hace falta un 70 % para aprobar, y al suspender hay que esperar 12 horas antes de repetir: si se pudiera reintentar sin límite, aprobar sería cuestión de insistir y el diploma no diría nada.
Te recomendamos dominar todas las lecciones antes de presentarte.
Ir al examenPreguntas frecuentes
¿Por qué la derivada de una constante es cero?
Porque la derivada mide el ritmo de cambio, y una constante no cambia. Su gráfica es una recta horizontal, cuya pendiente es cero.
¿La derivada de un producto es el producto de las derivadas?
No. La derivada de x·x = x² es 2x, mientras que multiplicar las derivadas daría 1. La regla correcta es u′·v + u·v′.
¿Puedo sustituir el punto antes de derivar?
No. Sustituir convierte la función en un número, y la derivada de un número es cero. Hay que derivar la expresión entera y sustituir al final.
Si la derivada vale cero, ¿siempre hay un máximo o un mínimo?
No. En y = x³ la derivada se anula en cero y la función sigue subiendo: es un punto de inflexión. Hay que comprobar el cambio de signo o mirar la segunda derivada.
¿Qué significa la derivada en un problema real?
Es la velocidad a la que cambia una magnitud respecto a otra. Si la función mide la posición, la derivada es la velocidad; si mide el coste total, la derivada es el coste de producir una unidad más. Siempre responde a la misma pregunta: cuánto varía esto si aquello cambia un poco.
¿Cómo sé si un punto crítico es máximo o mínimo?
Con la segunda derivada: si es negativa hay máximo, y si es positiva, mínimo. Si sale cero no se puede decidir así y hay que mirar cómo cambia el signo de la primera derivada alrededor del punto, que además es lo que distingue un extremo de un punto de inflexión.