Cónicas: elipse, parábola e hipérbola
Si se corta un cono con un plano, la figura que aparece depende solo de la inclinación del corte. Perpendicular al eje sale una circunferencia; algo inclinado, una elipse; paralelo a una generatriz, una parábola; y más inclinado todavía, una hipérbola. Los griegos las estudiaron así, y de ahí les viene el nombre. Dieciocho siglos después resultó que las mismas cuatro curvas describen las órbitas de los planetas, la trayectoria de un proyectil y la forma de una antena parabólica. Que una familia de curvas nacida de cortar un cono acabara siendo la forma en que se mueven los cuerpos celestes es de las coincidencias más productivas de la historia de la ciencia. Diez lecciones. Los datos de los ejercicios se sortean desde el resultado —centros y radios enteros, ternas pitagóricas para los focos— para que se puedan resolver a mano.
Lecciones
- 1 Identificar la cónica Reconocer de qué curva se trata mirando la ecuación.
- 2 Centro de una circunferencia Leer el centro a partir de la ecuación general.
- 3 Radio y casos degenerados Calcular el radio y saber cuándo no hay circunferencia.
- 4 Los focos de la elipse Calcular la distancia focal a partir de los semiejes.
- 5 La excentricidad Medir cómo de alargada es una elipse.
- 6 El vértice de la parábola Localizar dónde la parábola cambia de sentido.
- 7 Foco de la parábola Calcular la distancia del vértice al foco.
- 8 La directriz Situar la recta que define la parábola junto con el foco.
- 9 Las asíntotas de la hipérbola Obtener las rectas a las que la curva se acerca.
- 10 Excentricidad de la hipérbola Ver por qué siempre pasa de uno.
Examen final
12 preguntas sorteadas de todas las lecciones. Hace falta un 70 % para aprobar, y al suspender hay que esperar 12 horas antes de repetir: si se pudiera reintentar sin límite, aprobar sería cuestión de insistir y el diploma no diría nada.
Te recomendamos dominar todas las lecciones antes de presentarte.
Ir al examenPreguntas frecuentes
¿Por qué se llaman cónicas?
Porque las cuatro se obtienen cortando un cono con un plano, y lo que cambia entre ellas es solo la inclinación del corte. Los griegos las estudiaron así siglos antes de que existieran las coordenadas, y el nombre se quedó.
¿Para qué sirven fuera de clase?
Las órbitas de los planetas son elipses con el Sol en un foco, que es la primera ley de Kepler. Las antenas y los faros son parabólicos porque esa forma concentra en el foco todo lo que llega paralelo al eje. Y los sistemas de navegación por diferencia de tiempos usan hipérbolas.
¿La circunferencia es una elipse?
Sí, el caso particular en que los dos semiejes son iguales. Entonces los focos se juntan en el centro, la distancia focal es cero y la excentricidad también. Todo lo que vale para la elipse vale para ella.
¿Y si la cónica está girada o desplazada?
Desplazada se trata igual: aparecen términos en x y en y, y se completan cuadrados para volver a la forma reducida. Girada es más complicado, porque surge un término en xy y hace falta un cambio de ejes. Este curso trabaja con las que tienen los ejes paralelos a los coordenados.
¿Qué relación tienen con la ecuación de segundo grado?
Toda cónica es una ecuación de segundo grado en dos variables, y por eso las técnicas son las mismas: completar cuadrados y analizar signos. La parábola además es la gráfica de la función cuadrática de siempre, vista como curva del plano.