Métodos numéricos
x³ − x − 2 = 0 no tiene una fórmula cómoda que dé su raíz, y ∫e^(−x²) no tiene primitiva escribible con funciones elementales. No es que nadie la haya encontrado: está demostrado que no existe. Y sin embargo las dos cosas hacen falta constantemente. Los métodos numéricos renuncian a la respuesta exacta y buscan otra cosa: una aproximación tan buena como se quiera, con una cota del error que diga cuánto se puede confiar en ella. Ese segundo punto es lo que los separa de tantear: un número sin cota de error no es un resultado, es una opinión. Diez lecciones sobre los cuatro métodos que están detrás de casi todo lo demás. Los ejercicios se generan con funciones cuya raíz o cuya integral se conocen de antemano, así que siempre se puede comparar la aproximación con el valor de verdad.
Lecciones
- 1 Cuándo hay una raíz Comprobar si un intervalo sirve para empezar.
- 2 El método de bisección Dar el primer paso y entender el criterio de elección.
- 3 La cota del error Saber de antemano cuánto puede fallar la aproximación.
- 4 Cuántas iteraciones hacen falta Despejar el número de pasos para una precisión pedida.
- 5 El método de Newton Dar un paso de Newton a partir de una aproximación inicial.
- 6 El papel de la derivada Calcular la pendiente que Newton necesita en cada paso.
- 7 Integración por trapecios Aproximar un área uniendo los puntos con segmentos.
- 8 La regla de Simpson Aproximar con parábolas en lugar de con rectas.
- 9 Error absoluto y relativo Comparar una aproximación con el valor exacto.
- 10 Comparar métodos Ver a qué ritmo gana precisión cada uno.
Examen final
13 preguntas sorteadas de todas las lecciones. Hace falta un 70 % para aprobar, y al suspender hay que esperar 12 horas antes de repetir: si se pudiera reintentar sin límite, aprobar sería cuestión de insistir y el diploma no diría nada.
Te recomendamos dominar todas las lecciones antes de presentarte.
Ir al examenPreguntas frecuentes
¿Por qué hacen falta métodos aproximados si existe el cálculo exacto?
Porque muchísimos problemas no tienen solución exacta escribible. Está demostrado que las ecuaciones polinómicas de grado cinco no tienen fórmula general con radicales, y que integrales tan corrientes como la de e^(−x²) no tienen primitiva elemental. No es una limitación de nuestro ingenio: es un resultado matemático.
¿Una aproximación es un resultado válido?
Lo es cuando viene con una cota del error. Un número suelto no dice nada; el mismo número acompañado de «con un error menor que una milésima» es una afirmación comprobable. Toda la ingeniería trabaja así, y también las calculadoras: cuando una da un seno, está aproximando.
¿Cuál es el mejor método para buscar raíces?
Depende de lo que se tenga. Si la función se deriva con facilidad y hay una estimación inicial decente, Newton es mucho más rápido. Si no, o si hace falta una garantía de que se va a converger, la bisección es más segura. En la práctica se combinan: unas bisecciones para acercarse y Newton para afinar.
¿Por qué Simpson necesita un número par de trozos?
Porque cada parábola se ajusta a tres puntos, es decir, consume dos subintervalos. Con un número impar sobraría un trozo sin pareja. Es una condición de la fórmula, no una recomendación: con un número impar el resultado sale mal.
¿Estos métodos se usan de verdad o son solo un ejercicio?
Se usan constantemente. Cualquier simulación física, cualquier previsión meteorológica y cualquier modelo de ingeniería resuelve ecuaciones que no tienen solución cerrada. Los métodos son más elaborados que estos, pero las ideas —iterar, acotar el error, elegir entre rapidez y garantía— son exactamente las mismas.