Cálculo de varias variables
Casi todo lo que se mide de verdad depende de más de una cosa. El coste de fabricar depende del material y de las horas; la temperatura de una placa depende de dónde se mida, y eso son dos coordenadas. En cuanto hay dos variables, la pregunta «¿cuál es la derivada?» deja de tener una sola respuesta: hay una por cada dirección en la que uno decida moverse. La idea que resuelve el problema es más sencilla de lo que parece: para derivar respecto a una variable, se congela la otra y se trata como un número. Todo lo que ya se sabe derivar sigue valiendo tal cual. A partir de ahí salen el gradiente, que apunta hacia donde la función crece más deprisa, y las segundas parciales, que dicen cómo se curva la superficie. Nueve lecciones. Las funciones de los ejercicios se sortean polinómicas y se evalúan en puntos enteros, de modo que la respuesta siempre es exacta y se puede comprobar a mano.
Lecciones
- 1 Funciones de dos variables Evaluar f(x, y) y entender qué representa.
- 2 Congelar la otra variable Entender la única idea que hace falta para derivar parcialmente.
- 3 Derivada parcial en x Calcular ∂f/∂x y evaluarla en un punto.
- 4 Derivada parcial en y Calcular ∂f/∂y y ver que no tiene por qué parecerse a ∂f/∂x.
- 5 El gradiente Formar el vector de las parciales y leer sus componentes.
- 6 Módulo del gradiente Calcular cuánto crece la función en su mejor dirección.
- 7 Segundas derivadas puras Derivar dos veces respecto a la misma variable.
- 8 Derivadas cruzadas y Schwarz Derivar en una variable y luego en la otra, y ver que el orden da igual.
- 9 El determinante hessiano Clasificar un punto crítico con las cuatro segundas parciales.
Examen final
12 preguntas sorteadas de todas las lecciones. Hace falta un 70 % para aprobar, y al suspender hay que esperar 12 horas antes de repetir: si se pudiera reintentar sin límite, aprobar sería cuestión de insistir y el diploma no diría nada.
Te recomendamos dominar todas las lecciones antes de presentarte.
Ir al examenPreguntas frecuentes
¿Hace falta saber derivar en una variable antes de empezar?
Sí, y es prácticamente lo único que hace falta. Una derivada parcial se calcula con las mismas reglas de siempre; lo único nuevo es decidir cuál de las variables se congela. Si la regla de la potencia y la del producto están claras, el curso se sigue sin problema.
¿Por qué se escribe ∂ y no d?
Para avisar de que la función tiene más variables y de que se está derivando solo respecto a una. Con df/dx se entiende que x es la única variable de la que depende f; con ∂f/∂x se entiende que hay otras y que están quietas. Es una diferencia de notación, no de procedimiento.
¿El gradiente es un vector o un número?
Un vector: tiene una componente por cada variable. Lo que sí es un número es su módulo, que mide cuánto crece la función en la mejor dirección posible desde ese punto.
¿Se pueden derivar funciones de tres o más variables?
Sí, y el método es idéntico: se congelan todas menos una. Con tres variables hay tres parciales y el gradiente tiene tres componentes. El curso trabaja con dos porque son las que se pueden dibujar, pero nada de lo que se hace depende de que sean dos.
¿Por qué los ejercicios usan solo polinomios?
Porque así las parciales son exactas y se pueden comprobar a mano. Con senos y exponenciales el procedimiento es el mismo, pero el resultado sale con decimales y el ejercicio pasa a medir el manejo de la calculadora en vez de la comprensión de la regla.