Cálculo de varias variables · Lección 9 de 9
El determinante hessiano
Clasificar un punto crítico con las cuatro segundas parciales.
Antes de empezar, una de repaso
Recordar algo cuesta más que releerlo, y por eso funciona mejor. Esta pregunta es de una lección anterior.
Una matriz con las cuatro segundas
La matriz hessiana coloca las cuatro segundas parciales en un cuadro: las puras en la diagonal y las cruzadas fuera. Por Schwarz, las dos de fuera coinciden, así que la matriz es simétrica.
Su determinante es fxx · fyy menos el cuadrado de la cruzada, y es lo que permite clasificar un punto crítico sin dibujar nada.
Cómo se lee
Determinante negativo: punto de silla, la superficie sube en una dirección y baja en otra. Determinante positivo: hay extremo, y el signo de fxx dice si es mínimo (positivo) o máximo (negativo).
Determinante cero: el criterio no decide. No es que no haya respuesta, es que hace falta estudiar el punto por otra vía.
Una advertencia
Todo esto clasifica puntos donde el gradiente ya se anula. Aplicar el criterio en un punto cualquiera no dice nada útil: primero se buscan los puntos críticos, y solo después se clasifican.
Practica
Cada ejercicio se genera con números nuevos y lo corrige el mismo motor que mueve las calculadoras del sitio. La lección se da por dominada al acertar 4 de los últimos 5.