La fórmula
P(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a) / n! · (x − a)ⁿ
Por qué funciona
La idea de Taylor es que un polinomio puede imitar a una función cerca de un punto si coincide con ella en el valor, luego en la pendiente, luego en la curvatura y así sucesivamente: cada derivada que se añade fija una propiedad más y el parecido se extiende un poco más lejos. El factorial del denominador está para compensar el que aparece al derivar una potencia, y sin él los coeficientes saldrían disparados. Cuando el centro es cero, la serie se llama de Maclaurin, que no es otra cosa que el caso más frecuente.
Cómo resolverlo a mano
- Deriva la función tantas veces como el orden que quieras
- Evalúa cada derivada en el punto que has elegido como centro
- Divide cada valor entre el factorial de su orden
- Multiplica por (x − centro) elevado a ese orden y suma todo
Lo que conviene saber
El polinomio de Taylor solo aproxima bien cerca del centro, y lo lejos que llegue depende de la función: la de e^x vale en toda la recta, mientras que la de 1/(1−x) se rompe en cuanto x pasa de uno, por muchos términos que se añadan. Ese límite se llama radio de convergencia. En la práctica, la aproximación de tercer o cuarto orden es la que se usa en física para linealizar: el péndulo simple funciona porque sen(x) ≈ x cuando el ángulo es pequeño, que es justamente el primer término de esta serie.