¿Por qué se suma siempre + C?

Porque la derivada de una constante es cero, así que infinitas funciones tienen la misma derivada. Las primitivas de 2x son x², x²+5, x²−7… todas válidas. La constante C representa esa familia entera. En una integral definida no hace falta porque se cancela al restar.

¿Cuál es la integral de 1/x?

ln|x| + C. Es la única excepción de la regla de la potencia: con exponente −1, subir uno daría exponente 0 y habría que dividir entre cero. Por eso ese caso se resuelve con el logaritmo.

¿Cuándo uso el cambio de variable y cuándo la integración por partes?

El cambio de variable sirve cuando ves una función y, multiplicando, algo parecido a su derivada. La integración por partes, cuando hay un producto de dos funciones de naturaleza distinta, como x·e^x o x·sen(x). Si al derivar uno de los factores se simplifica, ese es tu u.

¿Todas las funciones tienen primitiva?

Toda función continua tiene primitiva, pero no siempre se puede escribir con funciones elementales. e^(−x²) es el ejemplo clásico: existe, es fundamental en estadística, y no hay forma de expresarla con las funciones de siempre. Por eso esta calculadora pasa a métodos numéricos en esos casos.

Calculadora de integrales

Escribe la función y verás la primitiva con el procedimiento explicado. Si además pones los límites, aplica la regla de Barrow. Cuando la integral no tiene primitiva elemental, lo dice y calcula el área por métodos numéricos en lugar de inventarse un resultado.

Qué es una integral

Integrar es la operación contraria a derivar. Si te dan una función y te piden su integral, lo que buscas es otra función cuya derivada sea la que te han dado. A esa función se le llama primitiva.

Por eso la comprobación es tan sencilla y tan poca gente la hace: deriva tu resultado. Si no recuperas la función original, está mal. Esta calculadora lo hace automáticamente y te enseña el resultado.

La integral definida, con límites, significa otra cosa: es el área encerrada entre la curva y el eje horizontal en ese tramo. Que esas dos ideas —deshacer la derivada y medir un área— sean la misma cosa es el teorema fundamental del cálculo, uno de los resultados más importantes de las matemáticas.

Tabla de integrales inmediatas

Estas hay que sabérselas. Todo lo demás se reduce a llegar hasta una de ellas.

∫ f(x) dx	Resultado
k	k·x + C
xⁿ (n ≠ −1)	xⁿ⁺¹ / (n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
eˣ	eˣ + C
aˣ	aˣ / ln(a) + C
sen(x)	−cos(x) + C
cos(x)	sen(x) + C
1/cos²(x)	tan(x) + C
1/(1+x²)	arctan(x) + C
1/√(1−x²)	arcsen(x) + C

Y las dos propiedades que permiten trocear cualquier integral: la de una suma es la suma de las integrales, y las constantes salen fuera.

∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
∫ k·f(x) dx = k · ∫ f(x) dx

La regla de la potencia

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C

«Subes uno al exponente y divides por el nuevo exponente». Con ∫ x² dx:

Subes uno al exponente: x³.
Divides por el nuevo exponente: x³/3.
Añades la constante: x³/3 + C.

Comprueba derivando: (x³/3)' = 3x²/3 = x². Correcto.

La regla falla en un único caso, n = −1, porque subir uno daría exponente 0 y habría que dividir entre cero. Ese hueco lo tapa el logaritmo: ∫ 1/x dx = ln|x| + C.

Funciona igual con exponentes fraccionarios y negativos: √x = x^1/2, y su integral es x^3/2/(3/2) = (2/3)·x√x.

Cambio de variable

Es la regla de la cadena leída al revés. Se usa cuando dentro de la integral aparece una función y, multiplicando, algo parecido a su derivada.

Para ∫ 2x·cos(x²) dx:

Eliges u = x², la función de dentro.
Derivas: du = 2x dx. Y resulta que ese 2x ya está en la integral.
Sustituyes: la integral se convierte en ∫ cos(u) du.
Resuelves: sen(u).
Deshaces el cambio: sen(x²) + C.

El caso más habitual, y el que resuelve esta calculadora automáticamente, es cuando el argumento es lineal: ∫ sen(3x) dx. Ahí basta con dividir por la derivada del argumento:

∫ sen(3x) dx = −cos(3x) / 3 + C

Ese divisor se olvida constantemente. Deriva −cos(3x) sin dividir y verás que sale 3·sen(3x), con un 3 de más.

Integración por partes

Sale de la regla del producto, también leída al revés:

∫ u · dv = u · v − ∫ v · du

La dificultad está en elegir bien quién es u. La regla práctica: u debe ser lo que se simplifica al derivar. Los logaritmos y las potencias de x son buenos candidatos; las exponenciales y las trigonométricas, malos, porque al derivarlas no mejoran.

Para ∫ x·eˣ dx:

u = x (al derivar se convierte en 1) y dv = eˣ dx.
du = dx y v = eˣ.
Aplicas la fórmula: x·eˣ − ∫ eˣ dx.
Resuelves lo que queda: x·eˣ − eˣ.
Sacas factor común: eˣ(x − 1) + C.

Hay un truco muy útil para ∫ ln(x) dx, que no parece un producto: se toma u = ln(x) y dv = dx. Sale x·ln(x) − x + C.

La integral definida y la regla de Barrow

Con límites, la integral deja de ser una función y pasa a ser un número: el área bajo la curva entre esos dos puntos.

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

Para ∫₀¹ x² dx:

Calculas la primitiva: F(x) = x³/3.
Evalúas arriba: F(1) = 1/3.
Evalúas abajo: F(0) = 0.
Restas: 1/3 − 0 = 1/3.

Aquí no se pone + C: al restar, las dos constantes se cancelan. Y ojo con el signo: si la curva va por debajo del eje, el área sale negativa. Para el área geométrica real hay que integrar el valor absoluto o trocear por los puntos de corte.

Errores frecuentes

Olvidar la constante. En una integral indefinida, sin + C la respuesta está incompleta.
Olvidar dividir por la derivada del argumento en las sustituciones lineales. Es el fallo número uno en los exámenes.
Integrar un producto multiplicando las integrales. No existe una «regla del producto» para integrar: ∫ f·g ≠ ∫f · ∫g.
Aplicar la regla de la potencia a 1/x. Es la única excepción y la más olvidada.
No comprobar derivando. Es gratis y detecta casi todos los errores.