La fórmula
si p/q es raíz, p divide al término independiente y q al coeficiente principal
Por qué funciona
Factorizar un polinomio es encontrar sus raíces, porque cada raíz r da un factor (x − r). El problema es que las raíces posibles son infinitas, y ahí entra el teorema de la raíz racional: si el polinomio tiene coeficientes enteros y una raíz p/q en forma irreducible, entonces p divide al término independiente y q al coeficiente principal. Eso convierte infinitas posibilidades en una lista corta que se puede probar una a una. Cada raíz encontrada baja el grado por división sintética, y el proceso se repite hasta que queda un polinomio de grado dos, que se resuelve con la fórmula.
Cómo resolverlo a mano
- Saca el factor común de los coeficientes y las potencias de x que puedas
- Lista los divisores del término independiente y los del coeficiente principal
- Prueba cada cociente de los primeros entre los segundos, con los dos signos
- Cada raíz que anule el polinomio se divide por Ruffini y baja el grado
Lo que conviene saber
El teorema solo encuentra raíces racionales, así que un polinomio como x² − 2 no se factoriza por este camino aunque tenga raíces reales: son irracionales, y la lista de candidatos no las contiene. Cuando eso pasa, esta página lo dice en vez de dar un decimal aproximado disfrazado de factorización exacta. Y ojo con el orden de los coeficientes: van del grado mayor al menor y hay que escribir los ceros de los términos que faltan, porque «1, 0, -4» es x² − 4 y «1, -4» es x − 4, que no tienen nada que ver.