La regla
n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … · número de divisores = (a₁+1) × (a₂+1) × …
Por qué funciona
El teorema fundamental de la aritmética garantiza que todo número mayor que uno se escribe como producto de primos de una única manera, salvo el orden. Se obtiene dividiendo por primos cada vez mayores, y basta probar hasta la raíz cuadrada del número: si no hay divisores por debajo de ella, lo que queda es primo.
Cómo hacerlo a mano
- Divide entre 2 tantas veces como se pueda
- Sigue con 3, 5, 7 y los primos siguientes
- Para cuando el divisor supere la raíz cuadrada de lo que queda
- Lo que quede, si es mayor que uno, es primo
Lo que conviene saber
De la descomposición se saca el número de divisores sin listarlos: se suma uno a cada exponente y se multiplican. Así, 360 = 2³ × 3² × 5 tiene 4 × 3 × 2 = 24 divisores. La dificultad de factorizar números muy grandes no es un problema académico: es el fundamento de la criptografía RSA, que apuesta a que multiplicar dos primos enormes es fácil y deshacerlo no lo es.