La regla
aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹ · suma = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1)
Por qué funciona
Aquí cada término multiplica al anterior por una razón fija, así que el crecimiento es exponencial en vez de lineal. La fórmula de la suma sale de restar la serie a sí misma multiplicada por la razón: casi todos los términos se cancelan y quedan solo dos.
Cómo hacerlo a mano
- Eleva la razón al número de saltos, que es una unidad menos que el término
- Multiplica por el primer término
- Para la suma, aplica la fórmula con la razón elevada al número de términos
Lo que conviene saber
Cuando la razón está entre −1 y 1, cada término es menor que el anterior y la suma de infinitos términos converge a un número concreto: 1 + 1/2 + 1/4 + … no pasa de 2, por muchos sumandos que se añadan. Es la resolución de la paradoja de Aquiles y la tortuga, donde infinitos tramos suman un tiempo finito. Con razón mayor que uno pasa lo contrario, y de ahí vienen tanto el interés compuesto como la leyenda del tablero de ajedrez y los granos de trigo.