La fórmula
si al sustituir sale 0/0 o ∞/∞, se deriva arriba y abajo
Por qué funciona
Un límite no es el valor de la función en el punto: es a dónde se acerca cuando x se acerca. Por eso se calcula por los dos lados, y por eso puede existir aunque la función no esté definida ahí —el caso clásico es sen(x)/x en cero, que vale uno aunque la expresión sea 0/0—. Si los dos lados no coinciden, el límite no existe, y decirlo es tan importante como dar un número. Cuando sale una indeterminación 0/0 o ∞/∞ en un cociente, la regla de L’Hôpital permite derivar numerador y denominador por separado tantas veces como haga falta.
Cómo resolverlo a mano
- Sustituye x por el punto y mira qué sale
- Si sale un número, la función es continua ahí y ese es el límite
- Si sale 0/0 o ∞/∞, deriva el numerador y el denominador y vuelve a sustituir
- Comprueba los dos lados: si no coinciden, el límite no existe
Lo que conviene saber
La regla de L’Hôpital solo vale para las indeterminaciones 0/0 e ∞/∞: aplicarla a 0·∞ o a ∞−∞ sin transformarlas antes en un cociente es el error más común, y da resultados falsos. Cuando no hay indeterminación de cociente, esta página se acerca al punto numéricamente y avisa de que la cifra es aproximada: es la diferencia entre un resultado exacto y una buena estimación, y conviene saber cuál se está mirando. Una función puede tener límite infinito por los dos lados —1/x² en cero— y entonces el límite existe y vale infinito; si los signos son distintos, como en 1/x, no existe.