Qué es el determinante y para qué sirve
El determinante es un número que se calcula a partir de una matriz cuadrada y que resume una propiedad esencial: si la matriz se puede deshacer o no.
Si el determinante no es cero, la matriz tiene inversa, sus filas son independientes y el sistema de ecuaciones asociado tiene solución única. Si es cero, la matriz es singular: hay información redundante, y el sistema o no tiene solución o tiene infinitas.
Geométricamente es el factor por el que la matriz multiplica áreas o volúmenes. Un determinante de 3 triplica el área de cualquier figura transformada; uno de 0 la aplasta hasta convertirla en una línea o un punto, y por eso no hay vuelta atrás.
Determinante de una 2×2
El caso más simple, y el que hay que saber de memoria:
| a b |
| c d | = a·d − b·c
Producto de la diagonal principal menos producto de la secundaria. Para [[1, 2], [3, 4]]: 1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2.
La regla de Sarrus para las 3×3
Consiste en copiar las dos primeras columnas a la derecha de la matriz y sumar los tres productos de las diagonales que bajan hacia la derecha, restando los tres que bajan hacia la izquierda.
det = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
Con la matriz del ejemplo:
| 6 1 1 |
| 4 −2 5 |
| 2 8 7 |
- Diagonales positivas: 6×(−2)×7 = −84 · 1×5×2 = 10 · 1×4×8 = 32. Suman −42.
- Diagonales negativas: 1×(−2)×2 = −4 · 6×5×8 = 240 · 1×4×7 = 28. Suman 264.
- Resta: −42 − 264 = −306.
Insistimos en algo que se olvida constantemente: Sarrus solo vale para 3×3. Aplicarla a una 4×4 da un número, pero no es el determinante.
De 4×4 en adelante: eliminación gaussiana
El desarrollo por cofactores funciona para cualquier tamaño, pero crece de forma brutal: una 5×5 exige 120 productos y una 10×10, más de tres millones. Por eso en la práctica se usa la eliminación gaussiana.
La idea es sencilla: se transforma la matriz en triangular y entonces
det = producto de la diagonal × (−1)número de intercambios de filas
Las tres operaciones permitidas y su efecto:
| Operación | Efecto en el determinante |
|---|---|
| Intercambiar dos filas | Cambia de signo |
| Multiplicar una fila por k | Se multiplica por k |
| Sumar a una fila un múltiplo de otra | No cambia |
Esa tercera operación es la que hace todo el trabajo: permite ir haciendo ceros bajo la diagonal sin alterar el resultado.
Propiedades que ahorran cuentas
- Si una fila o columna es toda ceros, el determinante es 0. No hace falta calcular nada.
- Si dos filas son iguales o proporcionales, el determinante es 0.
- De una matriz triangular, es el producto de la diagonal.
- det(Aᵀ) = det(A): transponer no cambia el determinante.
- det(A·B) = det(A) · det(B), aunque A·B ≠ B·A.
- det(A⁻¹) = 1 / det(A).
- det(k·A) = kⁿ · det(A) para una matriz n×n. Multiplicar toda la matriz por 2 no duplica el determinante: lo multiplica por 2ⁿ.
Errores frecuentes
- Aplicar Sarrus a matrices que no son 3×3. El error más extendido con diferencia.
- Equivocarse con los signos de los cofactores. Alternan en tablero de ajedrez empezando por + en la esquina superior izquierda.
- Olvidar el cambio de signo al intercambiar filas durante la eliminación.
- Calcular el determinante de una matriz no cuadrada. Simplemente no está definido.