Qué es una derivada
La derivada mide lo rápido que cambia una función. Si la función describe la posición de un coche, su derivada es la velocidad; si describe el coste de producir unidades, su derivada es lo que cuesta producir una más.
Geométricamente es la pendiente de la recta tangente en cada punto. Nace de una idea sencilla: la pendiente entre dos puntos es (f(x+h) − f(x)) / h, y si acercas el segundo punto al primero hasta que h se hace infinitamente pequeño, obtienes la pendiente exacta en ese punto.
f'(x) = límh→0 [ f(x+h) − f(x) ] / h
Esa definición se usa para demostrar las reglas, pero nadie deriva así en la práctica: para eso están las reglas que vienen ahora.
Tabla de derivadas
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ | n·xn−1 |
| √x | 1 / (2√x) |
| 1/x | −1/x² |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ · ln(a) |
| ln(x) | 1/x |
| sen(x) | cos(x) |
| cos(x) | −sen(x) |
| tan(x) | 1 / cos²(x) |
| arctan(x) | 1 / (1 + x²) |
La derivada de una constante es cero porque una constante no cambia. Y eso tiene una consecuencia importante: al integrar hay que añadir + C, porque esa información se pierde para siempre.
Las cuatro reglas que hay que dominar
1. Potencia. Baja el exponente multiplicando y réstale uno.
(xⁿ)' = n · xn−1
Para x³: baja el 3 y el exponente pasa a 2, así que 3x².
2. Suma. Se deriva término a término, sin más.
(f + g)' = f' + g'
Para x³ + 2x² − 5x + 1: 3x² + 4x − 5. El 1 desaparece.
3. Producto. Aquí no vale multiplicar las derivadas.
(f · g)' = f' · g + f · g'
Para x·sen(x): la derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo: sen(x) + x·cos(x).
4. Cociente. Se deduce del producto, pero conviene memorizarla.
(f / g)' = (f' · g − f · g') / g²
Para x/(x+1): [1·(x+1) − x·1] / (x+1)² = 1/(x+1)². Fíjate en el orden del numerador: cambiarlo cambia el signo.
La calculadora aplica la regla del producto sobre (x+1)⁻¹, así que en los cocientes puede devolver una forma equivalente sin agrupar, como 1/(1+x) − x/(1+x)². Es el mismo resultado: compruébalo dando valores a las dos expresiones.
La regla de la cadena, paso a paso
Es la que más cuesta y la que más aparece. Se usa cuando hay una función dentro de otra.
[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)
En palabras: derivas la de fuera dejando la de dentro quieta, y multiplicas por la derivada de la de dentro.
Para sen(3x):
- Identifica las capas. Fuera está el seno, dentro está 3x.
- Deriva la de fuera sin tocar la de dentro: cos(3x).
- Deriva la de dentro: (3x)' = 3.
- Multiplica: 3·cos(3x).
Para (x² + 1)⁵:
- Fuera hay una potencia quinta, dentro x² + 1.
- Derivada de fuera: 5(x² + 1)⁴.
- Derivada de dentro: 2x.
- Producto: 10x(x² + 1)⁴.
Cuando hay tres capas se aplica tres veces. Para sen(e^(2x)): cos(e^(2x)) · e^(2x) · 2.
Para qué sirve derivar
- Encontrar máximos y mínimos. Donde la derivada vale cero, la función tiene un punto crítico. Es la base de cualquier problema de optimización: el envase que gasta menos material, el precio que maximiza el beneficio.
- Saber si algo crece o decrece. Derivada positiva, crece; negativa, decrece.
- Física. La derivada de la posición es la velocidad, y la de la velocidad, la aceleración.
- Economía. El coste marginal es la derivada del coste total: lo que cuesta producir una unidad más.
- Aproximar funciones. Cerca de un punto, la recta tangente se parece muchísimo a la curva. En eso se basan el método de Newton y buena parte del cálculo numérico.
Errores frecuentes
- Derivar un producto multiplicando las derivadas. (f·g)' no es f'·g'. Es el error más común de todos.
- Olvidar la regla de la cadena. La derivada de sen(3x) no es cos(3x): falta el 3.
- Confundir la derivada de eˣ con la de xⁿ. En eˣ la incógnita está en el exponente, así que la regla de la potencia no vale.
- Equivocar el orden en el cociente. El numerador es f'·g − f·g', y al revés sale con el signo cambiado.
- Dejar la derivada sin simplificar. No está mal, pero esconde los errores y complica el paso siguiente.