La fórmula
∂f/∂x: se deriva respecto de x tratando las demás variables como constantes
Por qué funciona
Derivar parcialmente no tiene ninguna regla nueva: es derivar de siempre, tratando todas las variables menos una como si fueran números. Lo que cambia es la interpretación. Una función de dos variables es una superficie, y cada parcial es la pendiente de esa superficie en una dirección: la de x mirando hacia el este y la de y hacia el norte. El gradiente junta las dos en un vector que apunta hacia donde la función crece más deprisa, y su módulo dice cuánto crece. Donde el gradiente se anula hay un punto crítico: un máximo, un mínimo o un punto de silla.
Cómo resolverlo a mano
- Elige la variable respecto de la que vas a derivar
- Trata todas las demás como constantes y deriva normalmente
- Repite con cada variable para tener el gradiente completo
- Evalúa en el punto si quieres las pendientes concretas
Lo que conviene saber
Las derivadas cruzadas —derivar primero respecto de x y luego de y, o al revés— dan lo mismo siempre que sean continuas, y eso es el teorema de Schwarz. Comprobarlo es la mejor forma de detectar un error de cálculo, porque si no coinciden es casi seguro que algo se ha derivado mal. Un detalle que se olvida: que el gradiente se anule no basta para saber si hay máximo o mínimo. Hace falta mirar las segundas, y una función como x² − y² tiene gradiente nulo en el origen sin ser ni una cosa ni la otra: es un punto de silla, que sube en una dirección y baja en la otra.