La fórmula
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
Qué significa
La binomial cuenta éxitos en un número fijo de intentos independientes con la misma probabilidad cada uno: caras en diez lanzamientos, piezas defectuosas en un lote, aciertos en un test de respuesta múltiple. La fórmula tiene dos partes: la potencia da la probabilidad de una secuencia concreta con k éxitos, y el combinatorio cuenta de cuántas formas distintas pueden colocarse esos k éxitos entre los n intentos.
Cómo calcularlo a mano
- Cuenta cuántos intentos hay en total y con qué probabilidad sale bien cada uno
- Calcula C(n, k): de cuántas formas pueden repartirse los k éxitos
- Multiplica por p elevado a k y por (1 − p) elevado a n − k
- Para las acumuladas, suma las probabilidades de todos los casos que te interesan
Lo que conviene saber
Las tres condiciones —número fijo de intentos, independencia y probabilidad constante— no son un formalismo: si extraes cartas sin devolverlas, la probabilidad cambia en cada extracción y lo que toca es la hipergeométrica, no la binomial. Cuando n es grande y p pequeña, la binomial se parece mucho a una Poisson de media n·p, y cuando n es grande y p intermedia, a una normal; las dos aproximaciones existían porque el cálculo exacto era inviable a mano, cosa que aquí ya no pasa.