Qué es la distribución normal
La distribución normal, o campana de Gauss, describe cómo se reparten muchísimas variables del mundo real: la altura de las personas, los errores de una medición, la duración de un proceso industrial. Su forma es simétrica, con la mayoría de los valores agolpados en torno a la media y cada vez menos según nos alejamos.
Queda definida por solo dos números: la media (μ), que marca el centro, y la desviación típica (σ), que marca lo ancha que es. Con esos dos datos se puede responder a cualquier pregunta de probabilidad sobre ella.
Aparece tan a menudo por el teorema central del límite: cuando una variable es la suma de muchos efectos pequeños e independientes, tiende a distribuirse normalmente aunque cada efecto por separado no lo haga.
La puntuación Z: el paso que todo lo resuelve
Existen infinitas distribuciones normales, una por cada par de media y desviación. Sería imposible tabularlas todas. La solución es tipificar: convertir cualquier normal en la normal estándar, la de media 0 y desviación 1.
Z = (x − μ) / σ
El resultado se lee así: a cuántas desviaciones típicas está el valor de la media. Un Z de 1 está una desviación por encima; un Z de −2, dos por debajo.
Eso permite comparar cosas que no comparten unidades. Si mides 189 cm en una población de media 175 y desviación 7, tu Z es 2. Si sacaste un 8,5 en un examen de media 6 y desviación 1,25, tu Z también es 2. Estás igual de arriba en ambas cosas.
Cómo usar la tabla de la Z a mano
Pregunta típica: en una población de altura media 175 cm y desviación 7, ¿qué porcentaje mide menos de 182 cm?
- Tipifica: Z = (182 − 175) ÷ 7 = 1,00.
- Busca en la tabla. Fila 1,0 y columna 0,00 → 0,8413.
- Interpreta: el 84,13 % mide menos de 182 cm.
Para la pregunta contraria, «¿cuántos miden más de 182?», se resta de 1:
P(X > 182) = 1 − 0,8413 = 0,1587 → 15,87 %
Y para «entre 168 y 182», se restan las dos áreas acumuladas:
- Z de 182 = 1,00 → área 0,8413.
- Z de 168 = −1,00 → área 0,1587.
- Resta: 0,8413 − 0,1587 = 0,6827, es decir el 68,27 %.
Muchas tablas solo recogen valores positivos de Z. Para los negativos se aprovecha la simetría: P(Z ≤ −1) = 1 − P(Z ≤ 1).
La regla del 68, 95 y 99,7
Sirve para estimar de cabeza sin tabla ninguna:
| Intervalo | Probabilidad | En una población de 1.000 |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68,27 % | 683 personas |
| μ ± 2σ | 95,45 % | 955 personas |
| μ ± 3σ | 99,73 % | 997 personas |
Fuera de tres desviaciones queda apenas un 0,27 %: tres personas de cada mil. Por eso en control de calidad un valor a más de 3σ se considera una señal de que algo va mal, no una casualidad.
No confundas estos números con los valores críticos. El 95 % exacto no está en 2σ sino en 1,96σ, y el 99 % en 2,576σ.
El camino inverso: del percentil al valor
A veces la pregunta va al revés: no «qué probabilidad hay por debajo de 182», sino «qué altura deja por debajo al 90 % de la gente». Ahí se usa la inversa:
- Busca en la tabla el área 0,90 y mira a qué Z corresponde: 1,2816.
- Deshaz la tipificación: x = μ + Z · σ.
- x = 175 + 1,2816 × 7 = 183,97 cm.
Esa misma operación es la que da los intervalos de confianza:
IC = media ± Z · (σ / √n)
Errores frecuentes
- Confundir la desviación típica con la varianza. La varianza es el cuadrado. Si te dan σ² = 49, la desviación es 7, no 49.
- Usar 2 en lugar de 1,96 para el 95 %. Como aproximación mental está bien; en un informe, no.
- Olvidar dividir entre √n en los intervalos de confianza. La media muestral varía mucho menos que los datos individuales.
- Suponer normalidad sin comprobarla. Los ingresos, los precios de vivienda y los tiempos de espera están sesgados: la campana no les sirve.