La fórmula
(a + b)² = a² + 2ab + b² · 3x + 2x = 5x · (x² − 1)/(x − 1) = x + 1
Por qué funciona
Simplificar es escribir la misma cosa con menos: no cambia el valor de la expresión en ningún punto, solo su forma. La calculadora lo hace en dos pasos. Primero desarrolla, que es multiplicar todo lo que está multiplicando —cada término de un paréntesis por cada término del otro, y una potencia como un producto repetido— hasta que no queda ningún paréntesis. Después agrupa: los términos que tienen las mismas letras con los mismos exponentes se suman, sin importar el orden en que estén escritas, porque x·y y y·x son el mismo monomio. Si la expresión es una fracción, se hace lo mismo arriba y abajo y luego se busca un factor común a los dos, que es lo que se cancela. Lo que no es un polinomio —un seno, una raíz de una suma— se trata como un bloque que se arrastra sin tocar.
Cómo resolverlo a mano
- Desarrolla los productos: cada término de un paréntesis por cada término del otro
- Desarrolla las potencias de un paréntesis como productos repetidos, o con el binomio de Newton
- Agrupa los términos semejantes: mismas letras con los mismos exponentes
- Ordena de mayor a menor grado y, en una fracción, busca un factor común arriba y abajo
Lo que conviene saber
El error más frecuente es (a + b)² = a² + b²: falta el doble producto, y desarrollarlo como (a + b)(a + b) lo hace aparecer solo. El segundo es cancelar sumandos en una fracción: en (x² + 1)/x no se puede tachar la x, porque solo se cancela lo que multiplica a todo el numerador y a todo el denominador. La calculadora solo cancela un factor común de verdad, que encuentra dividiendo los dos polinomios, y si no hay ninguno deja la fracción con las dos partes desarrolladas. La comprobación numérica del final —evaluar la forma original y la simplificada en varios puntos— es la que hay que hacer a mano cuando un ejercicio no sale: si los valores no coinciden, algo se ha perdido por el camino.