La fórmula
sen²x + cos²x = 1 · tan x = sen x / cos x · sen 2x = 2 sen x cos x · cos 2x = cos²x − sen²x · 1 + tan²x = sec²x
Por qué funciona
Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores de la variable, no solo para algunos: sen²x + cos²x = 1 vale para cualquier x, mientras que sen x = x solo vale en cero. Por eso la comprobación no puede hacerse en un punto: dos expresiones distintas pueden coincidir en uno por casualidad. La calculadora evalúa los dos lados en ocho ángulos repartidos entre 0 y 2π, en radianes, y salta los que hacen que alguno de los lados no exista, como tan x en π/2. Si en todos coinciden, la igualdad es una identidad con toda probabilidad; si en alguno difieren, no lo es, y ese punto es el contraejemplo. Es exactamente lo que se hace a mano con la calculadora científica antes de intentar la demostración.
Cómo resolverlo a mano
- Escribe los dos lados de la igualdad con x como variable y en radianes
- Evalúa cada lado en varios ángulos, saltando los que anulan un denominador
- Si en alguno difieren, no es identidad: ese ángulo es el contraejemplo
- Si coinciden en todos, es una identidad; para demostrarla, transforma un lado hasta llegar al otro
Lo que conviene saber
Las identidades básicas son pocas y todas las demás salen de ellas. La pitagórica, sen²x + cos²x = 1, dividida entre cos²x da 1 + tan²x = sec²x y dividida entre sen²x da 1 + cot²x = csc²x. Las del ángulo doble salen de las de la suma con los dos ángulos iguales: sen 2x = 2 sen x cos x y cos 2x = cos²x − sen²x, que con la pitagórica se escribe también 2cos²x − 1 o 1 − 2sen²x. Un error muy repetido es cos 2x = 1 − sen²x, que se parece a las dos formas correctas y no es ninguna: la calculadora lo desmonta en el primer punto. Para demostrar una identidad conviene partir del lado más complicado y transformarlo, sin pasar términos de un lado a otro como si fuera una ecuación, porque eso ya da por supuesto lo que se quiere probar.