La fórmula
y′ + a·y = b → y(t) = b/a + (y₀ − b/a)·e^(−a·t)
Por qué funciona
La ecuación dice que la velocidad de cambio de y depende de la propia y: cuanto más lejos está del valor b/a, más deprisa se mueve hacia él. Ese valor es el equilibrio, donde la derivada se anula y la solución se queda quieta. Todo lo demás es el transitorio: el apartamiento inicial, y₀ − b/a, multiplicado por una exponencial que lo apaga. Es la misma ecuación del enfriamiento de un café, de la carga de un condensador, de un depósito con entrada y salida de agua o de un fármaco que el cuerpo elimina; y con b = 0 se reduce a y′ = −a·y, el crecimiento o el decaimiento exponencial de siempre. Comprobar si una función es solución no necesita resolver nada: se deriva y se mira si la ecuación se cumple, aquí evaluando en varios puntos.
Cómo resolverlo a mano
- Calcula el equilibrio dividiendo b entre a: es el valor al que tiende la solución
- Resta ese equilibrio al valor inicial: es la constante que multiplica a la exponencial
- Escribe y(t) = b/a + (y₀ − b/a)·e^(−a·t) y sustituye t para obtener el valor en cualquier instante
- Para comprobar una solución, derívala y mira si y′ + a·y da exactamente b
Lo que conviene saber
El signo de a lo decide todo. Con a positiva el transitorio se apaga y la solución acaba en el equilibrio, que es estable: por eso el café se enfría hasta la temperatura de la habitación y no más allá. Con a negativa la exponencial crece y la solución se aleja del equilibrio sin remedio, que es lo que pasa con un capital a interés compuesto o con una población sin límite. Con a igual a cero no hay equilibrio ni exponencial: la ecuación es y′ = b y su solución una recta. El tiempo hasta la mitad del camino, ln 2 entre a, es el análogo de la vida media y no depende de dónde se empiece: desde cualquier punto, en ese tiempo se recorre la mitad de lo que falta. La comprobación de una solución se hace evaluando en tres puntos y no en uno, porque una función equivocada puede coincidir con la ecuación en un punto por casualidad.