La fórmula
se reduce a t³ + pt + q = 0 y se resuelve por Cardano o por el método trigonométrico
Por qué funciona
Primero se elimina el término cuadrático con un cambio de variable, lo que deja una cúbica reducida mucho más manejable. A partir de ahí, el signo del discriminante decide el método: con tres raíces reales se usa una identidad trigonométrica del coseno, y con una sola, la fórmula de Cardano.
Cómo resolverlo a mano
- Divide todo entre a para dejar el coeficiente principal en uno
- Haz el cambio que elimina el término cuadrático
- Calcula el discriminante de la cúbica reducida
- Aplica el método que corresponda y deshaz el cambio
Lo que conviene saber
Una cúbica siempre corta el eje X al menos una vez, porque en los extremos toma valores de signos opuestos. La historia de esta fórmula es de las más turbias de las matemáticas: Tartaglia se la confió a Cardano bajo juramento de silencio y Cardano la publicó igualmente en 1545. Y quedó un cabo suelto incómodo, el llamado caso irreducible: cuando las tres raíces son reales, la fórmula de Cardano exige pasar por raíces de números negativos, y ese estorbo fue lo que acabó forzando la invención de los números complejos.