Sistemas de ecuaciones lineales · Lección 8 de 10
Rouché-Frobenius
Clasificar cualquier sistema comparando rangos.
Antes de empezar, una de repaso
Recordar algo cuesta más que releerlo, y por eso funciona mejor. Esta pregunta es de una lección anterior.
Dos rangos y el número de incógnitas
Se comparan el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada, que añade la columna de términos independientes.
Si son distintos, el sistema es incompatible. Si coinciden y valen lo mismo que el número de incógnitas, es compatible determinado. Si coinciden pero son menores, indeterminado.
Por qué funciona
Que el rango de la ampliada sea mayor significa que la columna de términos independientes aporta información nueva, es decir, que las ecuaciones se contradicen entre sí.
Y si los rangos coinciden pero son menores que las incógnitas, sobran grados de libertad: hay parámetros que quedan sueltos, y de ahí las infinitas soluciones.
Los grados de libertad
En un sistema indeterminado, el número de incógnitas menos el rango dice cuántos parámetros libres hay. Con uno, las soluciones forman una recta; con dos, un plano.
Por eso la respuesta a un sistema indeterminado no es «infinitas» a secas: se describe la familia de soluciones en función de esos parámetros.
Practica
Cada ejercicio se genera con números nuevos y lo corrige el mismo motor que mueve las calculadoras del sitio. La lección se da por dominada al acertar 4 de los últimos 5.
¿Quieres comprobar tus propios números? Esta calculadora resuelve lo mismo paso a paso: Rango de una matriz.