Números primos, MCD y MCM · Lección 4 de 10
Contar divisores
Saber cuántos divisores tiene un número sin listarlos.
Antes de empezar, una de repaso
Recordar algo cuesta más que releerlo, y por eso funciona mejor. Esta pregunta es de una lección anterior.
Sumar uno a cada exponente
Si un número es 2³ × 3² × 5, cada divisor se construye eligiendo cuántos doses tomar (de 0 a 3), cuántos treses (de 0 a 2) y cuántos cincos (0 o 1).
Por el principio multiplicativo son 4 × 3 × 2 = 24 divisores. Basta con sumar uno a cada exponente y multiplicar.
Los cuadrados perfectos son los raros
Los divisores se emparejan: si a divide a n, también lo hace n/a. Por eso el número de divisores es par… salvo cuando alguno se empareja consigo mismo, y eso solo pasa en los cuadrados perfectos.
Un número tiene un número impar de divisores exactamente cuando es un cuadrado. Es el argumento del clásico problema de las taquillas.
Números perfectos y abundantes
Si los divisores propios de un número suman el propio número, se llama perfecto: 6 = 1 + 2 + 3. Si suman más, abundante; si menos, deficiente.
Solo se conocen 51 números perfectos, todos pares, y nadie sabe si existe alguno impar. Es uno de los problemas abiertos más antiguos de las matemáticas.
Practica
Cada ejercicio se genera con números nuevos y lo corrige el mismo motor que mueve las calculadoras del sitio. La lección se da por dominada al acertar 4 de los últimos 5.
¿Quieres comprobar tus propios números? Esta calculadora resuelve lo mismo paso a paso: Calculadora de divisores.