Combinatoria: el arte de contar · Lección 9 de 10
El binomio de Newton
Desarrollar una potencia de un binomio con números combinatorios.
Antes de empezar, una de repaso
Recordar algo cuesta más que releerlo, y por eso funciona mejor. Esta pregunta es de una lección anterior.
Los coeficientes son combinatorios
Al desarrollar (a + b) elevado a n, el coeficiente de cada término es un número combinatorio. La razón es combinatoria: al multiplicar los n paréntesis, hay que elegir de cuáles sale la a.
Por eso los coeficientes de (a + b)³ son 1, 3, 3 y 1, que son las combinaciones de 3 sobre 0, 1, 2 y 3.
El triángulo de Pascal
Esos mismos coeficientes forman el triángulo de Pascal, donde cada número es la suma de los dos de encima. Es la forma más rápida de obtenerlos sin calcular factoriales.
Aparece documentado en China y en Persia siglos antes que en Europa, lo cual dice bastante sobre lo natural que es la construcción.
Los exponentes se reparten
En cada término, los exponentes de a y de b suman siempre n: empieza en aⁿ y va bajando mientras b sube. Comprobarlo es la forma más rápida de detectar un desarrollo mal escrito.
Practica
Cada ejercicio se genera con números nuevos y lo corrige el mismo motor que mueve las calculadoras del sitio. La lección se da por dominada al acertar 4 de los últimos 5.
¿Quieres comprobar tus propios números? Esta calculadora resuelve lo mismo paso a paso: Triángulo de Pascal.